Un contre-exemple à la réciproque du critère de Forni pour la positivité des exposants de Lyapunov du cocycle de Kontsevich-Zorich

Nous introduisons deux surfaces à petits carreaux respectivement de degré 8 dans la strate $\Omega \mathcal{M}_3 (2, 2)$ et de degré 9 dans la strate $\Omega \mathcal{M}_4 (3, 3)$. Dans ces deux exemples les dimensions des sous-espaces isotropes de l’homologie engendrés par les circonférences des cylindres dans les directions rationelles sont respectivement 2 et 3 (indépendemment de la pointe). Ainsi, dans chacun de ces exemples, le critère géométrique de G. Forni pour la non-uniforme hyperbolicit é du cocycle de Kontsevich-Zorich ne s’applique pas. Cependant, en utilisant un critère algébrique pour les conditions de “twisting” et “pinching” de [AV1] et [AV2] (voir [MMY]) nous démontrons que dans les deux cas que ce spectre est simple et ne contient aucun exposant nul. En particulier, la positivité du spectre de Lyapunov pour une mesure régulière n’implique pas l’existence de surface complétement périodique dans le support de cette mesure dont le sous-espace isotrope engendré par les circonférences des cylindres est de dimension maximale.

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Published 23 May 2016